วันจันทร์ที่ 15 สิงหาคม พ.ศ. 2554

ค่าความจริงของประพจน์และตัวเชื่อม Truth Table

ในการเชื่อมประพจน์นั้นบางครั้งจะต้องใช้ตัวเชื่อมหลายตัวมาเชื่อมประพจน์  ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาในการหาค่าความจริงว่าควรที่จะเริ่มต้นที่ตัวใดก่อน  ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการลำดับสัญลักษณ์ที่ คลุมความ มากที่สุดและรองลงมาตามลำดับ 
ตารางความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อใช้หาค่าความจริงของประพจน์
ตัวอย่าง                ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว จะมีจำนวนแถว =22 = 4
ถ้ามีตัวแปร 3 ตัว จะมีจำนวนแถว = 23 = 8
การสร้างตารางความจริง
1. ตีตารางที่มีจำนวนช่องเท่ากับจำนวนตัวแปรรวมกับจำนวนตัวเชื่อม
2. เขียนค่าความจริงของตัวแปรก่อน (p,q,...)
3. เริ่มเขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่เล็กที่สุดก่อน แล้วจึงเขียนประพจน์ที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับ
หลักในการหาค่าความจริง
1. เขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อย หรือตัวแปรแต่ละตัวก่อน เช่น p,q,r,...
2. หาค่าความจริงที่เป็นนิเสธของตัวแปร ถ้ามี ~p,~q,...
3. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด
4. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความมากขึ้นตามลำดับ
5. ถ้าตัวเชื่อมกินความเท่ากัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา
6. ถ้ามีวงเล็บควรทำในวงเล็บก่อน
ตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด ไปหามากที่สุด เรียงตามลำดับดังนี้
1. ~
2. ^
3. v
4.
5.
ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย
สัญลักษณ์
ความหมาย
ขยายความหมาย
ก็ต่อเมื่อ
มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน
ถ้า...แล้ว
มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ
^
และ
มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด
v
หรือ
มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง
~
ไม่
มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง

จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้
p
q
~q
pvq
p^~q
pvqp^~q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T

ตัวอย่าง จงหาตารางความจริงของประพจน์ pvqp^~q
วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
2. หาค่า ~q ก่อน
3. หาค่า pvq และ p^~q
4. หาค่า pvqp^~q
ในกรณีที่ทราบค่าแน่นอนของตัวแปร (หรือประพจน์ย่อย) เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์รวมได้ทันทีโดยเขียนตารางเพียงแถวเดียว
ตัวอย่าง                จงหาค่าความจริงของ (pq)v(r^s)
เมื่อให้ p เป็นเท็จ q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ s เป็นเท็จ
วิธีทำ                     P(p,q,r,s) = (pq)v(r^s)
P(F,F,F,F) = T
ตัวอย่าง                "ถ้า 1+1 = 3 หรือ 2+2 = 5 แล้ว 1+2 = 4"
วิธีทำ                     ให้ p คือ 1+1 = 3 เป็น F
q คือ 2+2 = 5 เป็น F
r คือ 1+2 = 4 เป็น F
ประโยคข้างต้นสามารถเขียนแทนด้วย p^qr
pvq = FvF = F
pvqr = FF = T
ตัวอย่าง จงเขียนประโยคที่กำหนดให้ในรูปสัญลักษณ์
(1)          ถ้า 4 เป็นเลขคี่แล้ว 5 เป็นเลขคู่
p แทน 4 เป็นเลขคี่
q แทน 5 เป็นเลขคู่
   ดังนั้นเขียนแทนด้วย pq
(2)          2 เท่ากับหรือมากกว่า 3
p แทน 2 เท่ากับ 3
q แทน 2 มากกว่า 3
   ดังนั้นเขียนแทนด้วย pvq
(3)          6 หาร 3 ได้ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 บวก 3 เท่ากับ 7
p แทน 6 หาร 3 ลงตัว
q แทน 3 บวก 3 เท่ากับ 7
    ดังนั้นเขียนแทนด้วย pq
(4)          ดอกกุหลาบมีสีแดงและดอกมะลิมีสีฟ้า
p แทนดอกกุหลาบมีสีแดง
q แทนดอกมะลิมีสีฟ้า
    ดังนั้นเขียนแทนด้วย p^q




การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
ในการวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์นั้น สามารถทำการวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีการดังนี้
1. การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง
การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง สามารถทำการวิเคราะห์ได้ดังนี้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ p v q        p ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้                   
ตารางค่าความจริงของประพจน์ p v q   p
p
q
p v q
p v q      p
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T

วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
2. หาค่า pvq  ก่อน
3. หาค่า pvqp^~q



ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้                   
ตารางค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r
วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q,  r ก่อน
                p
q
r
~ r
p v q
(p v q) ^~ r
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T

2. หาค่า ~ r   ก่อน
3. หาค่า pvq
4. หาค่า (p v q) ^~ r








การสมมูลเชิงตรรกะ (Logical Equivalence)
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกัน  หมายถึง  ค่าความจริงที่ของประพจน์  2  ประพจน์  ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกัน  กรณีต่อกรณี  แล้วสามารถนำไปใช้แทนกันได้  จะเรียกประพจน์นั้นว่า  เป็นรูปแบบที่สมมูลกันเช่น  p q กับ ~p v q   ถือว่าเป็นรูปแบบที่สมมูลกันและจะใช้
สัญลักษณ์แทนการสมมูลและใช้
สัญลักษณ์ แทนการไม่สมมูล

ตัวอย่าง ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์กรณีที่  1
สมมูลกับ
ประพจน์กรณีที่2
~p
p ~p
~q v q
~p v p
~(pq)
p ^ ~q
~(p ^ q)
~p v ~q
pq
~q ~p
~p v~q
~(p ^ q)
~p v q
pq


จงพิจารณาว่าประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
นำประพจน์ทั้งสองมาเขียนเป็นตารางค่าความจริง
ตารางค่าความจริงของประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
p
q
~p
~q
p ^ q
~(p ^ q)
~p v ~q
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T


จะเห็นว่าผลของความจริงของทั้ง 2 ประพจน์ พบว่าสมสมมูลกัน




ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น