เกิดข้อผิดพลาดใน Gadget นี้

วันจันทร์ที่ 15 สิงหาคม พ.ศ. 2554

กฎเดอมอร์แกน




กฎเดอมอร์แกน (De Morgan's laws)
                กฎเดอมอร์แกน (อังกฤษ: De Morgan's laws) หรือ ทฤษฎีบทเดอมอร์แกน (อังกฤษ: De Morgan's theorem) เป็นกฎในวิชาตรรกศาสตร์ คือ ชุดของกฎในสาขาตรรกศาสตร์รูปนัยซึ่งแสดงความสัมพันธ์อย่างเป็นระบบระหว่างคู่ของตัวดำเนินการเชิงตรรกที่คู่กัน โดยแสดงในรูปนิเสธ ความสัมพันธ์เช่นนี้เรียกว่าภาวะคู่กันเดอมอร์แกน (De Morgan duality)
กฎนี้แสดงว่าประพจน์ทางซ้ายมือต่อไปนี้แต่ละตัวสมมูลเชิงตรรกกับประพจน์ทางขวามือที่คู่กัน และเราสามารถแปลงประพจน์จากข้างหนึ่งไปเป็นอีกข้างหนึ่งได้ ไม่ว่าในทิศทางใดก็ตาม


สัจนิรันดร์และความขัดแย้ง(Tautology  and  Contradiction)
สัจนิรันดร์(Tautology)
            สัจนิรันดร์ (Tautology) หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงตลอดไป  ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อย ๐  ที่เป็นค่าตัวแปรจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไรก็ตาม


ตัวอย่าง จงเขียนตารางค่าความจริง เพื่อแสดงว่า p   (pvq)เป็นสัจนิรันทร์
 P
P
pvq
p   (pvq)
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T

จากตารางค่าความจริง        ประพจน์ข้างต้นถือว่าเป็นสัจนิรันทร์ เพราะ p   ( p v q )
มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอดังนั้น     ( p v q ) เป็นสัจนิรันทร์
ความขัดแย้ง (Contradiction)
ความขัดแย้ง( Contradiction) หมายถึง  ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ  ไม่ว่าความจริงของประพจน์ย่อยๆ ที่เป็นตัวแปร  จะมีค่าความเป็นอย่างไรก็ตาม
ตัวอย่าง   จงเขียนตารางค่าความจริง เพื่อแสดงว่า ( p ^ q ) ^ (q ~p) เป็นความขัดแย้งแย้ง
ตารางค่าความจริง
p
q
~p
p ^ q
(q~p)                  
(p^q)^(q~p)
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
F

จากตารางค่าความจริง        ประพจน์ต้นถือว่าเป็นความขัดแย้ง เพราะ (p^q) ^ (q     ~p
มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ  และ (p^q)^(q      ~p)เป็นความขัดแย้ง

ประโยคเปิด (Open Sentence)

ประโยคเปิดคือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฎิเสธที่มีตัวแปร ไม่เป็นประพจน์และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์


ตัวอย่าง

      2x + 1 = 3

      เขาเป็นนักคณิศาสตร์















                    





แบบทดสอบตรรกศาสตร์

จงพิจารณาว่าประโยคหรือข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น “จริง”หรือ”เท็จ” ถ้าเป็นประพจน์เป็นข้อความประเภทใด

ประโยค
เป็น/ไม่เป็น
ค่าประพจน์/ประเภท
กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย
นกไม่มีปีก
ธนาคารมีการบันทึกและจัดเก็บข้อมูลลูกค้าไว้ในคอมพิวเตอร์
4+5มีค่าเท่ากับ 9
ว้าย! น่ากลัวจัง
จังหวัดอุดรธานีไม่ได้อยู่ในภาคอีสาน
2 + 3  =  3  -  1
โลกเป็นดาวเคราะห์
กรุณาปิดไฟทุกครั้งก่อนออกจากห้อง
17 + 8 = 30
เซตว่างไม่เป็นสับเซตของทุกเซต
ปลาและนกเป็นสัตว์บก
50 คูณด้วย 40 มีค่าเท่ากับเท่าไร
หยุดเดี๋ยวนี้นะ
อย่าส่งเสียงดังในเวลาทำงาน
ได้โปรดเถอะนะถือว่าสงสารฉันหน่อย
ว้าย! ตะเถรตกกระโถน
บรรยากาศสำหรับเราสองคนอยากให้เป็นเช่นนี้จังเลย
อย่าคุยเวลาทำงาน
อยากดูหนังมากเลย
เลขคู่ทุกจำนวนหารด้วยสองลงตัว
เ      ป็น
เป็      น
เป็       น
เป็       น
เป็       น
ไม่    เป็น
เ       ป็น
เป็       น
ไ     ม่เป็น
เ         ป็น
เป็        น
เป็        น
ไม่เ       ป็น
ไม่เป็     น
ไม่     เป็น
ไม่เป็      น
ไม่เป็     น
ไม่เป็    น
ไม่     เป็น
ไม่เป็    น 
เป็      น
จริ      ง
เ      ท็จ
จ      ริง
จ       ริง
อุท     าน
เ        ท็จ
เ        ท็จ
จริ       ง
อ้อนวอ น
เท็        จ
เ        ท็จ
เท็        จ
คำถา    ม
คำสั่      ง
ห้า      ม
ขอร้อ   ง
อุทา     น
ปรารถ นา
ห้า        ม
ปรารถ  นา
จริ       ง









จงใช้แผนภาพแสดงการตรวจสอบการให้เหตุผลต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่
1.              เหตุ  1    :   นักกีฬาทุกคนเป็นคนแข็งแรง
                   เหตุ  2    :   นักกีฬาบางคนเป็นคนขยัน
                   ผลสรุป   :   คนแข็งแรงบางคนเป็นคนขยัน

2.               เหตุ  1    :   ขวดเป็นสิ่งมีชีวิต
                   เหตุ  2    :   สิ่งมีชีวิตย่อมเจริญเติบโต
                   ผลสรุป   :   ขวดเจริญเติบโต

3.               เหตุ  1    :   ไม่มีคนคิดมากคนใดมีความสุข
                   เหตุ  2    :   สิตาไม่มีความสุข
                   ผลสรุป   :   สิตาเป็นคนคิดมาก

4.               เหตุ  1    :   สัตว์น้ำบางชนิดเลี้ยงลูกด้วยนม
                   เหตุ  2    :   สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกชนิดเป็นสัตว์เลือดอุ่น
                   ผลสรุป   :   สัตว์น้ำบางชนิดไม่เป็นสัตว์เลือดอุ่น

5.               เหตุ  1    :   ไม่ว่าใครที่กินนมเป็นประจำ  จะมีรูปร่างสูงใหญ่
                   เหตุ  2    :   ปานทิพย์มีรูปร่างสูงใหญ่
                   ผลสรุป   :   ปานทิพย์กินนมเป็นประจำ

ค่าความจริงของประพจน์และตัวเชื่อม Truth Table

ในการเชื่อมประพจน์นั้นบางครั้งจะต้องใช้ตัวเชื่อมหลายตัวมาเชื่อมประพจน์  ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาในการหาค่าความจริงว่าควรที่จะเริ่มต้นที่ตัวใดก่อน  ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการลำดับสัญลักษณ์ที่ คลุมความ มากที่สุดและรองลงมาตามลำดับ 
ตารางความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อใช้หาค่าความจริงของประพจน์
ตัวอย่าง                ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว จะมีจำนวนแถว =22 = 4
ถ้ามีตัวแปร 3 ตัว จะมีจำนวนแถว = 23 = 8
การสร้างตารางความจริง
1. ตีตารางที่มีจำนวนช่องเท่ากับจำนวนตัวแปรรวมกับจำนวนตัวเชื่อม
2. เขียนค่าความจริงของตัวแปรก่อน (p,q,...)
3. เริ่มเขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่เล็กที่สุดก่อน แล้วจึงเขียนประพจน์ที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับ
หลักในการหาค่าความจริง
1. เขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อย หรือตัวแปรแต่ละตัวก่อน เช่น p,q,r,...
2. หาค่าความจริงที่เป็นนิเสธของตัวแปร ถ้ามี ~p,~q,...
3. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด
4. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความมากขึ้นตามลำดับ
5. ถ้าตัวเชื่อมกินความเท่ากัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา
6. ถ้ามีวงเล็บควรทำในวงเล็บก่อน
ตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด ไปหามากที่สุด เรียงตามลำดับดังนี้
1. ~
2. ^
3. v
4.
5.
ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย
สัญลักษณ์
ความหมาย
ขยายความหมาย
ก็ต่อเมื่อ
มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน
ถ้า...แล้ว
มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ
^
และ
มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด
v
หรือ
มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง
~
ไม่
มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง

จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้
p
q
~q
pvq
p^~q
pvqp^~q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T

ตัวอย่าง จงหาตารางความจริงของประพจน์ pvqp^~q
วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
2. หาค่า ~q ก่อน
3. หาค่า pvq และ p^~q
4. หาค่า pvqp^~q
ในกรณีที่ทราบค่าแน่นอนของตัวแปร (หรือประพจน์ย่อย) เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์รวมได้ทันทีโดยเขียนตารางเพียงแถวเดียว
ตัวอย่าง                จงหาค่าความจริงของ (pq)v(r^s)
เมื่อให้ p เป็นเท็จ q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ s เป็นเท็จ
วิธีทำ                     P(p,q,r,s) = (pq)v(r^s)
P(F,F,F,F) = T
ตัวอย่าง                "ถ้า 1+1 = 3 หรือ 2+2 = 5 แล้ว 1+2 = 4"
วิธีทำ                     ให้ p คือ 1+1 = 3 เป็น F
q คือ 2+2 = 5 เป็น F
r คือ 1+2 = 4 เป็น F
ประโยคข้างต้นสามารถเขียนแทนด้วย p^qr
pvq = FvF = F
pvqr = FF = T
ตัวอย่าง จงเขียนประโยคที่กำหนดให้ในรูปสัญลักษณ์
(1)          ถ้า 4 เป็นเลขคี่แล้ว 5 เป็นเลขคู่
p แทน 4 เป็นเลขคี่
q แทน 5 เป็นเลขคู่
   ดังนั้นเขียนแทนด้วย pq
(2)          2 เท่ากับหรือมากกว่า 3
p แทน 2 เท่ากับ 3
q แทน 2 มากกว่า 3
   ดังนั้นเขียนแทนด้วย pvq
(3)          6 หาร 3 ได้ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 บวก 3 เท่ากับ 7
p แทน 6 หาร 3 ลงตัว
q แทน 3 บวก 3 เท่ากับ 7
    ดังนั้นเขียนแทนด้วย pq
(4)          ดอกกุหลาบมีสีแดงและดอกมะลิมีสีฟ้า
p แทนดอกกุหลาบมีสีแดง
q แทนดอกมะลิมีสีฟ้า
    ดังนั้นเขียนแทนด้วย p^q




การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
ในการวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์นั้น สามารถทำการวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีการดังนี้
1. การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง
การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง สามารถทำการวิเคราะห์ได้ดังนี้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ p v q        p ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้                   
ตารางค่าความจริงของประพจน์ p v q   p
p
q
p v q
p v q      p
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T

วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
2. หาค่า pvq  ก่อน
3. หาค่า pvqp^~q



ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้                   
ตารางค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r
วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q,  r ก่อน
                p
q
r
~ r
p v q
(p v q) ^~ r
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T

2. หาค่า ~ r   ก่อน
3. หาค่า pvq
4. หาค่า (p v q) ^~ r








การสมมูลเชิงตรรกะ (Logical Equivalence)
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกัน  หมายถึง  ค่าความจริงที่ของประพจน์  2  ประพจน์  ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกัน  กรณีต่อกรณี  แล้วสามารถนำไปใช้แทนกันได้  จะเรียกประพจน์นั้นว่า  เป็นรูปแบบที่สมมูลกันเช่น  p q กับ ~p v q   ถือว่าเป็นรูปแบบที่สมมูลกันและจะใช้
สัญลักษณ์แทนการสมมูลและใช้
สัญลักษณ์ แทนการไม่สมมูล

ตัวอย่าง ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์กรณีที่  1
สมมูลกับ
ประพจน์กรณีที่2
~p
p ~p
~q v q
~p v p
~(pq)
p ^ ~q
~(p ^ q)
~p v ~q
pq
~q ~p
~p v~q
~(p ^ q)
~p v q
pq


จงพิจารณาว่าประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
นำประพจน์ทั้งสองมาเขียนเป็นตารางค่าความจริง
ตารางค่าความจริงของประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
p
q
~p
~q
p ^ q
~(p ^ q)
~p v ~q
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T


จะเห็นว่าผลของความจริงของทั้ง 2 ประพจน์ พบว่าสมสมมูลกัน